不少同学在入门线性代数时感到迷濛、苦难，体会不到课程的骨子道理。这很猛进度上是因为，讲义为了轮回渐进、轮番渐进ag百家乐大平台，须从基础的概括办法讲起，而真耿介不雅的部分，时时要比及后头的细分范畴或具体应用。于是入门者时时知其然，不知其是以然；只见树木，不见丛林。但愿本文能让你换个视角，以粗放兴味的平日眼神，看到一个不一样的线性代数。
本文是系列著作《N文粗通线性代数》的第五篇。在上篇著作中，咱们商议了怎么解决线性方程组无解、有无限多解的情形。当A为满秩方阵时，线性方程
撰文 | 吴进远
上回书说到，某近视宅男，某日下楼到早点铺买早餐。眼镜忘在家里，看不清黑板上写的价目。于是，宅男就一边列队，一边听着前面主顾买早点的品种数量，和管事员小妹报的总价，据此打算各式早点品种的单价。
宅男买了早餐，一边吃，一边念念考。咱们知谈，唯独正方形的矩阵，也等于说，行数与列数交流的矩阵，才可能存在逆矩阵。不外，即使是正方形的矩阵，也不一定有逆矩阵。因为一个矩阵存在逆矩阵的条款，除了必须是方的，它还必须是满秩的。然而，咱们在施行宇宙中，经常会遭遇不方的矩阵，或者不（列）满秩的矩阵。关于这种情况，难谈咱们就只颖悟怒目，一筹莫展吗？
这个问题自身是一个实的确在的问题。在求解线性方程组的本事，尽管咱们可能无法求出方程的唯一解，但咱们但愿通过这个方程组了解未知数之间的关系。这就要求咱们去寻找一个大肆矩阵的广义逆矩阵。
（1）假好意思术竭诚教的真数学
一个大肆矩阵A，不论这个矩阵是不是方的，也不论它的秩满不悦，假如有个矩阵G，适合AGA=A这样一个条款，则G就被称为A的一个广义逆矩阵。若是同期适合AGA=A和GAG=G这两个条款，则G被称为一个自反的广义逆矩阵。咱们底下商议一个例子。
矩阵的作用不错用坐标变换来讲授，骨子上，绘制影相齐不错动作是坐标变换。天然我这样说艺术家们会抄起苕帚把我赶出去，是以这里需要放手咱们说的是像我这样的假好意思术竭诚。比如有一天，我画了一个苹果。
我我方画技很差，但若是换成一个经过历练的画家，应该不难画得像下图那样尽头像。
这个图骨子是P出来的，用在这里是为了标明有的画家照实是不错画到这样像的。
咱们不错把影相动作是一个矩阵：A。它的作用是把什物（x）或者画作（v）造成像片（u）。
什物造成像片：u=Ax
画作造成像片：u=Av
相似，咱们不错把绘制动作一个矩阵：G。它的作用是把什物或者像片造成画作。
什物造成画作：v=Gx
像片造成画作：v=Gu
在现场，咱们不出丑出画作和什物是很不交流的，相似，像片和什物，像片（斜着一定角度拍摄的像片）和画作也齐是不同的。
不外，咱们不错进行如下操作：
这个经过中，像片1若是和像片2交流，则绘制矩阵G不错动作是影相A的广义逆矩阵，因为它们适合AGA=A。
同理，咱们不错进行如下操作：
若是画作1和画作2交流，则有GAG=G。
这里强调一下，绘制光显不是影相的逆矩阵，因为咱们不可能从像片画出一个的确苹果，哪怕是一个三维的模子苹果也不行。但绘制却是影相的广义逆矩阵，因为把像片通过绘制造成画作之后，再把画作通过影相造成像片，这两张像片是一样的。
同理，影相不是绘制的逆矩阵，但却是它的广义逆矩阵。
两者同期是对方的广义逆矩阵，而且齐是自反的。
（2）寻找靠谱的广义逆矩阵
当今，咱们换数学竭诚换一个角度来商议。广义逆矩阵要满足什么条款呢？如前所述，关于一个矩阵A，若是有另一个矩阵G，满足AGA=A这个条款，G等于A的一个广义逆矩阵。咱们仍然用近视宅男买早餐为例，来阐述广义逆矩阵的界说。
比如宅男前面假设唯独两个主顾，如下表所示。
这两笔商业组成一个线性方程组，用矩阵乘法写出来是这样的：
很光显，这里咱们有三个未知数，却唯独两个方程，拘谨条款不够，不可能有唯一解。从所有矩阵上看，这个矩阵是矮胖的，光显不是列满秩的，因此这个矩阵莫得对应的逆矩阵。但咱们不错界说这个矩阵的广义逆矩阵。
这个界说不错画成底下这样一个图。
早餐店有三种食物，三个单价组成向量x。两个主顾购买不同品种食物的数量，组成一个2行3列的矩阵A。而两位主顾购物总价组成一个有两个元素的向量y。总价的打算经过是一个矩阵乘法Ax=y，这个打算如图中第一溜所示。
咱们从两个主顾的购物总价y启程，尽管无法打算出三种食物的准确单价，但统统可能算出一组可能的单价u，如上图第二行所示。这个算法说到底是把y里的两个元素拿来作念线性组合，这个线性组合不错动作是一个矩阵乘法：u=G y，其中G是A的广义逆矩阵，它不错从A打算出来，尽管这个打算比拟复杂，咱们暂时先不商议。留意，这里算出的可能单价u与咱们预先知谈的单价x统统可能是不交流的，但这组可能单价应该是靠谱的。
然而，“靠谱”又是什么真谛呢？咱们通过上图第三行来讲授。简便说，等于Au=y。或者说，当咱们用这一组新的可能单价去代替咱们预先知谈的信得过单价，以此打算前两位主顾的购物总价时，得到的拆伙必须不变。具体在咱们这个例子中，咱们预先知谈的单价：油饼3元，茶叶蛋4元，豆腐脑7元。而使用广义逆矩阵，咱们可能算出另一组可能单价：油饼3元，茶叶蛋5.5元，豆腐脑5.5元。这一组可能单价光显不是咱们预先知谈的信得过单价，但由这组可能单价算出的两位主顾的购物总价却是不变的。骨子上，当茶叶蛋单价加豆腐脑单价等于11元时，咱们总会得到交流的拆伙。
（3）广义逆矩阵可能不啻一个
咱们要求广义逆矩阵“靠谱”，或者说AGA=A，亚博ag百家乐这是一个尽头松的条款。因为这个条款很松，因此关于一个矩阵A，统统可能有无限多个矩阵G满足条款。因而一个矩阵可能有无限多个广义逆矩阵。
天然，若是矩阵A是一个满秩的方阵，则它的广义逆矩阵就唯惟一个，这个广义逆矩阵等于咱们畴昔学过的逆矩阵。
在AGA=A中，照实（GA）这个乘积有点像单元矩阵，因为它与A相乘还会得到A：A（GA） =A，但（GA）平庸不是单元矩阵，它平庸只可复原A，而弗成复原其他矩阵。
（4）在广义逆矩阵中挑三拣四
诚然满足AGA=A的矩阵G是一个“靠谱”的广义逆矩阵，但满足这个条款的矩阵G在一般情况下会有多数个。像咱们前面这个例子中，只消一个矩阵G能算出茶叶蛋单价加豆腐脑单价等于11元，它就不错算一个广义逆矩阵。
咱们天然会料想，能弗成让咱们挑选的广义逆矩阵边界减轻小数，最佳能减轻到只剩下一个？
咱们东谈主类一向如斯，任何事物莫得的本事恐忧，多了也恐忧。比如大族密斯挑半子，先提个条款要个子高，适合条款的多了就又提条款要家里富，然后再提条款要长得帅。
减轻广义逆矩阵边界其实亦然这个念念路，莫得什么万里挑一的事情弗成通过加适度条款来齐备，若是不行，那就再加几个条款。
咱们最容易料想的条款是GAG=G，从外不雅上看它和AGA=A对称。它抒发的真谛不错用下图来阐述。
在咱们前面买早餐的例子中，凭据两个主顾的付款额y'，咱们不错用广义逆矩阵算出三种食物的单价，尽管这个单价和信得过的单价并不一样，但它若干能提供小数有价值的信息。比如，从真谛真谛上说，若是今天两个主顾的付款额齐比昨天低了，咱们不错猜出今天有优惠，食物单价镌汰了。
应用咱们手里宽阔广义逆矩阵中的一个，近视宅男不错算出今天的食物单价u=Gy'，如上图第一溜所示。天然，这一组单价并不一定正确。使用这一组单价，管事员小妹不错算出两位主顾的付款额：Au=y，如上图第二行所示。留意这一组付款额y和近视宅男听到的y'可能会是不同的。当今若是近视宅男反过来再算食物单价u=Gy，如上图第三行所示，一般情况下不一定会得到交流的拆伙。不外，由于广义逆矩阵一般情况下有多数个，若是一运行咱们选拔了一个合适的广义逆矩阵G，它满足GAG=G，则上图第一溜与第三行这两次打算齐会算出交流的单价。
咱们看到AGA=A和GAG=G这两个条款是对称的，同期适合这两个条款的一双矩阵A与G互为广义逆矩阵，它们相互之间是自反的（reflexive）。在有的文件中，把适合AGA=A这个条款的矩阵G，叫作念A的内逆（inner inverse）；把适合GAG=G这个条款的矩阵G，叫作念A的外逆（outer inverse）。
有了AGA=A和GAG=G这两个条款，同期适合这两个条款的广义逆矩阵数量光显少了，但令东谈主捏狂的是，关于一个一般的矩阵A，咱们仍然可能会有多数个G。这就需要咱们进一步增多适度条款，咱们后头会进一步商议。
（5）挑出唯一的阿谁广义逆矩阵
增多适度条款不错让咱们的寻找边界减轻，不错假想，若是选择的条款合适，咱们统统可能在多数个广义逆矩阵挑出唯一的一个。天然这里还必须确保咱们设定的条款弗成太尖刻，因为那样可能会出现莫得广义逆矩阵适合一谈条款的莫名情形。好在，咱们当今至少有一组条款，不错确保筛选出一个、而且唯惟一个广义逆矩阵。
当今，到了闪亮登场的本事了。关于任何一个矩阵A，存在一个而且只存在一个矩阵G，同期满足底下四个条款。这个矩阵G叫作念矩阵A的彭罗斯逆矩阵。
不错看出，这四个条款中，第一个是广义逆矩阵的界说，第二个是咱们刚刚商议的自反广义逆矩阵的关系式。第三和第四两个关系式中“*”是共轭转置的真谛，等于把内部扫数元素换成共轭复数，同期把元素的行与列对调。若是括号里矩阵扫数元素齐是实数，则共轭转置“*”与转置“T”等价，或者说括号里两个矩阵的乘积AG或GA对称。（这里指示读者留意，A平庸不是正方形的，因而G平庸也不是正方形的。但AG以及GA却是正方形的，这两个正方形矩阵一般情况下一个大一些另一个小一些。）第三个条款让广义逆矩阵提供最小二乘解，同期满足第一与第三条款的G，在Ax=y格格不入莫得解的情况下，不错用Gy算出最小二乘解。（当原方程组不格格不入时，Gy等于方程组的解）。而第四个条款让广义逆矩阵提供最小范数解。咱们知谈，若是原方程组拘谨不够，则它可能有无限多解。当今第四个条款的作用是把最小范数解挑了出来。
在大学教科书上留住名字的东谈主，简直莫得活东谈主，但罗杰·彭罗斯（Roger Penrose）还活得好好的，他2020年得到了物理学的诺贝尔奖，恶果是黑洞方面的。
罗杰·彭罗斯 | Nobel Prize Outreach. Photo: Fergus Kennedy
彭罗斯发现彭罗斯逆这个责任发表于1955年，提及来，这种逆矩阵在30多年前就还是被前东谈主发现了。然而彭罗斯其时根柢不知谈这回事，从某种道理上说，不错算是再次发明轮子（re-inventing wheels）。
天然这个事情并弗成怪彭罗斯，因为其时数学界好多东谈主也不知谈这回事。骨子上，在彭罗斯之前，1951年，瑞典地面测量学家Arne Bjerhammar还是从头发明过一趟轮子了。到彭罗斯投稿的本事，至少不错假想他那篇著作的审稿东谈主也不知谈前东谈主的责任，不然这篇著作就可能发不出来了。你可能合计哪个剪辑敢拒稿诺奖得主的著作？但诺奖得主也有作念黄口赤子的本事。彭罗斯得诺奖是60多年后的事情，他其时仅仅个24岁的博士生。
当初在1920年发现这个广义逆矩阵的数学家是穆尔（Eliakim Hastings Moore），他是用矩阵的行列子空间上的投影来表述他的发现的，尽头概括难解，是以莫得好多东谈主连续估量下去。我莫得查到他1920年的论文原文，但读事后东谈主的一个转述著作。大家描画著作难解齐是说字全刚烈真谛不懂，可这篇著作里我连有的字母齐不刚烈。上网查了希腊、希伯来、西里尔字母表齐查不到，终末发现阿谁不刚烈的字母是一种花体的拉丁字母。
穆尔 | wikipedia
若干年后东谈主们知谈彭罗斯的逆和穆尔的逆是等价的，但彭罗斯和穆尔的表述尽头不同。此外，彭罗斯的四个条款是不错绝交来相互混搭使用的，由此粗略揭示广义逆矩阵的更多新奇性质。因此数学界统统招供彭罗斯的新孝顺，东谈主们当今把这种逆叫作念穆尔-彭罗斯逆。咱们后头会进一步商议。（未完待续）
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